Projet d'activité TICE
Niveau :
Première
Objectifs
- Tester et analyser un algorithme.
- Compléter un algorithme utilisant les listes pour calculer les termes et la somme des termes d’une suite récurrente.
- Créer un algorithme avec une boucle POUR ou une boucle TANT QUE pour déterminer des termes ou des rangs de termes de cette même suite.
- Explicitation mathématique des termes de la suite et de la somme des termes en fonction de n.
Prérequis :
- Utilisation des notions d’algorithmique et de ALGOBOX :
- avec l’utilisation de listes ;
- en mode de programmation élémentaire ;
- Connaissances du mode de définition des suites récurrentes, des suites arithmétiques (expression et somme des termes).
Enoncé :
La
suite 
est définie par 
.
On se
propose de calculer à la main les termes de et la somme
des termes de pour de petites valeurs
de n, puis d'effectuer ces calculs en modifiant,
complétant ou créant des algorithmes de façon progressive.
On
explicite enfin 
mathématiquement.
Organisation pratique :
Travail de préparation à la maison.
Travail autonome en salle informatique pour la partie algorithmique.
Travail en classe entière pour la partie mathématique.
Fichiers disponibles
Fiche élève
Somme des termes d'une suite récurrente
Partie A : À préparer à la maison
On considère la suite 
définie par 
pour tout entier n.
1.
Calculer 
.
2.
Montrer que
la suite est croissante.
3.
Calculer les
sommes 
.
4.
On note, pour
n entier naturel quelconque, la somme 
.
Calculer 
.
Partie B (avec des listes)
1.
Ouvrir le
fichier algobox « suite1.alg »
Exécuter le programme et compléter la deuxième ligne du tableau ci-dessous :
|
Entier n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Résultat |
|
|
|
|
|
|
2. Que fait ce programme ?
3.
Modifier ce
programme pour vérifier les résultats obtenus avec la suite de la partie A.
L'enregistrer sous le nom « suite2.alg »
4.
Compléter le
programme « suite2.alg » pour qu'il calcule 
.
On utilisera l'opération :
ALGOBOX_SOMME(nom_de_la_liste,rang_premier_terme,rang_dernier_terme)
5. A l'aide du programme, vérifier les résultats obtenus au A-3) et A-4).
6. Compléter le tableau :
|
Entier n |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
Somme |
|
|
|
|
|
Partie C (sans listes)
1. En utilisant une boucle POUR,
écrire un nouveau programme qui calcule le terme de rang n de la suite .
L'enregistrer sous le nom « suite3.alg ».
2. Compléter le programme
« suite3.alg » pour qu'il calcule .
(On pourra ajouter une instruction dans la boucle POUR).
3. Exécuter le programme pour vérifier les résultats obtenus en B-6).
4. Pour aller plus loin :
Déterminer le plus petit entier n tel que la somme soit supérieure à 
.
Conjecture : Pour tout réel M (aussi grand soit il), peut on trouver un entier n
tel que soit supérieure à M ?
(procéder par tests)
Partie D (en classe entière)
1. Formule explicite de 
en fonction de n :
En
ajoutant, membre à membre les égalités, 
, 
, 
, …, 
, montrer que 
.
En
déduire que 
.
2. Vérifier les résultats obtenus à l'aide d'Algobox.
3. On admet que 
.
Montrer
que 
.
4. Vérifier les résultats obtenus à l'aide d'Algobox.