Atelier : Questions ouvertes

« Prendre du temps pour s’adonner à une vraie recherche de problèmes – en respectant toutes les étapes relatives à ce type de recherche (conjectures et expérimentations, recherche de preuves, mise en forme d’une démonstration)... »

« …/…favoriser le travail personnel des élèves et donner le goût des problèmes consistants ou non entièrement balisés (peut-on imaginer un enseignement littéraire qui s’arrêterait à l’étude des règles grammaticales ?) …»

« …Il est souhaitable que, durant l’année, soient abordés tous les types d’exercices ou problèmes (en relevant éventuellement avec les élèves les oppositions et les complémentarités entre ces types) : problèmes balisés ou problèmes plus ouverts ; problèmes pour la classe ou problèmes pour l’examen ; problèmes d’un jour ou problèmes d’un mois… »

L’inspection Générale précise que la démarche engagée est une démarche à moyen terme : dans un premier temps, il s’agira d’une, au plus deux, questions ouvertes en fin d’exercice, puis dans l’avenir un exercice à trois points constitué d’une seule question ouverte.

L’énoncé, de préférence court, doit être compréhensible par tous les élèves et si possible motivant (notamment en donnant l’impression à l’élève que c’est à sa portée afin de lui donne envie de chercher).

La réponse n’est pas évidente, en particulier elle n’est pas nécessairement livrée avec l’énoncé.

Le problème est « riche » : plusieurs démarches sont possibles. Le professeur n’en impose aucune et ce n’est pas une application du cours, de la leçon que l’on vient de faire… L’élève doit pouvoir choisir sa stratégie, mettre en route une démarche scientifique : faire des essais (pas de feuille qui reste blanche…), tester ses résultats, prouver la validité de ses résultats, être capable d’argumenter…

Conduire à la mise en place de véritables démarches expérimentales (conjectures, essais, validation), avec ou sans utilisation d’outils informatiques (géométrie dynamique, tableur, calcul formel) ou d’une calculatrice.

C’est l’occasion de montrer aux élèves que les mathématiques se sont construites (et se construisent encore) à travers la résolution de problèmes.

Nécessité qu’un élève ayant normalement travaillé obtienne une note convenable ;

Il importe que les élèves soient confrontés très tôt au cours de leur scolarité à ce type d’exercices.

L’élève doit être encouragé dans un premier temps et habitué à décrire son travail : la ou les pistes explorées, la stratégie choisie, la ou les conjectures émises, les éventuelles contradictions rencontrées, les expérimentations) même s’il n’a pas abouti.

Il doit être mis plus souvent en situation d’analyse et de compréhension et ne pas travailler seulement en conformité, donc être confronté à des énoncés moins balisés et des activités variées :

Résolution d’exercices nécessitant une prise d’initiative : faire une adaptation : interpréter une donnée, perdre une information, utiliser un résultat précédent, introduire un intermédiaire, changer de cadre, de registre, de point de vue ; mettre en relation.

Il paraît nécessaire d’analyser les énoncés, pour prendre conscience de l’activité de l’élève et des compétences sollicitées.

– Mobilisables : l’élève identifie un savoir dans une situation relativement annoncée ;

– Disponibles : l’élève est capable d’utiliser un outil non annoncé par l’énoncé.

Remarque : un énoncé fermé ne sollicite l’élève que dans le registre technique.

– Un cadre est un domaine de travail ; les exercices nécessitant un changement de cadre entraînent les élèves à sortir du registre technique ;

(exemple : les problèmes d’optimisation à partir d’une situation géométrique)

(exemple : les fonctions sinus et cosinus peuvent se présenter dans le registre « cercle trigonométrique » ou dans le registre fonction ;).

Énoncé 1	Montrer que le produit de deux nombres qui s’écrivent comme somme de deux carrés d’entiers est encore une somme de deux carrés d’entiers.
Énoncé 2	Est-ce que le produit de deux nombres qui s’écrivent comme somme de deux carrés d’entiers est encore une somme de deux carrés d’entiers ?
Énoncé 3	En utilisant les nombres complexes, montrer que le produit de deux nombres qui s’écrivent comme somme de deux carrés d’entiers est encore une somme de deux carrés d’entiers.
Énoncé 4	Soit m, n, p et q des entiers. Est-ce que le produit (m² + n²) (p² + q²)peut toujours s’écrire sous la forme r² + s² où r et s sont des entiers ?
Énoncé 5	Soit m, n, p et q des entiers. 1. Ecrire m² + n² en fonction du module du complexe m + i n. 2. Procéder de même pour p² + q². 3. En déduire une expression du produit (m² + n²) (p² + q²) en fonction du module d’un seul nombre complexe à expliciter. 4. Montrer que le produit (m² + n²) (p² + q²)peut toujours s’écrire sous la forme r² + s² où r et s sont des entiers

Analyse

Énoncé 1	met l’élève immédiatement en situation de recherche d’une démonstration.
Énoncé 2	induit une recherche d’exemple, contre-exemple, conjecture.
Énoncé 3	Énoncé fermé.
Énoncé 4	Énoncé déjà traduit mais peut gêner l’activité de recherche du 2.

Exemple 2

Énoncé 1	Soit f la fonction définie sur R par f (x) = - x² + 4x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Existe-t-il des points C en lesquels le coefficient directeur de la tangente est égale à - 2 ?
Énoncé 2	Soit f la fonction définie sur R par f (x) = - x² + 4x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Existe-t-il des points de C en lesquels la tangente est parallèle à la droite d’équation y = - 2x + 1 ?
Énoncé 3	Soit C la courbe d’équation y = - x² + 4x. La courbe admet-elle une ou des tangentes ayant pour coefficient directeur - 2 ?
Énoncé 4	Soit f la fonction définie sur R par f (x) = - x² + 4x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Existe-t-il des points de C pour lesquels la tangente passe par le point de coordonnées (- 2 ; 1) ?

Analyse

Suivant les énoncés, le niveau de mise en fonctionnement des connaissances n’est pas du tout le même.

Énoncé 1	Les élèves doivent repérer le changement de point de vue qui consiste à traduire la recherche de points de C, par la recherche de l’abscisse de ces points. Ils sont orientés directement vers la résolution de l’équation f ’(x) = - 2 .
Énoncé 2	Les élèves doivent opérer le même changement de point de vue et mobiliser le coefficient directeur.
Énoncé 3	Les élèves doivent d’abord changer de registre pour passer de la notion de « courbe d’équation y = - x² + 4x » à celle de « représentation graphique de la fonction f définie par f (x) = - x² + 4x », puis traduire (faire une adaptation) la recherche de l’existence d’une tangente de coefficient directeur - 2 en l’existence de points de la courbe admettant une tangente de coefficient directeur - 2 et faire le changement de point de vue qui les conduits à chercher l’abscisse de ces points.
Énoncé 4	Le changement de point de vue signalé à l’énoncé 1 est nécessaire. Il faut ensuite mobiliser l’équation de la tangente et non plus seulement le coefficient directeur, ou bien égaler le coefficient directeur de la tangente à celui de la droite (AM), M étant le point de tangence cherché. Une intervention trop précoce du professeur peut modifier la tâche initialement prévue par l’élève. Ainsi un énoncé peut se transformer en une succession de tâches simples et isolées à la suite d’interventions trop fréquentes du professeur.

Inspiré des travaux d’un groupe de recherche de l’Académie de Toulouse
dont le travail s’est concrétisé par la publication de la
brochure IREM N° 41 Université de Paris 7 - Denis Diderot.

La gestion de la classe

Prévoir les difficultés des élèves, les aides intermédiaires, la gestion du temps, les utilisations du tableau.

Veiller à ne pas intervenir trop tôt.

Comment aider les élèves dans une phase de recherche ?

On peut démarrer par un questionnement :

Comprenez-vous tous les mots?

Qu'est-ce que cela vous dit ?

À quoi cela vous fait-il penser ?

Avez-vous déjà rencontré un problème semblable ?

Quels sont les mots mathématiques ? Que veulent-ils dire ?

La situation est-elle familière ? Avez-vous déjà vécu quelque chose de semblable ? Avez-vous déjà solutionné un problème semblable ? Reconnaissez-vous une configuration mathématique connue, un résultat remarquable ?

…

Comment trier les pistes ?

Dresser une liste des idées (tableau, papier,…) ;

Les regrouper éventuellement ;

Juger de leur validité ;

Les trier en fonction de la richesse des pistes et des concepts mathématiques qu’elles peuvent évoquer ;

La restitution au niveau de la classe

La synthèse consiste à créer un ensemble cohérent avec les différentes productions. Il faut amener les élèves à prendre en compte l’ensemble des travaux afin de porter un regard critique sur les différentes productions et méthodes utilisées.

Un questionnement devrait permettre de faire ressortir des méthodes de travail efficaces :

Quelles stratégies ont été les plus efficaces ?

Qu'est-ce qui vous a aidé ?

Quels sont les outils qui vous ont servi ?

La prochaine fois, qu'est-ce que vous ferez différemment ?

Est-ce que vos stratégies ont changé en cours de travail ?

Il permet de faire aussi ressortir les apports de connaissances :

Quelles découvertes avez-vous faites ?

Qu'est-ce que vous avez appris de nouveau ?

Qu'est-ce que vous retenez ?

Comment utiliserez-vous ce que vous avez appris ?

Qu'est-ce que vous saviez déjà et que vous avez utilisé autrement ?

Le questionnement est orienté pour faire ressortir la richesse des contenus mathématiques et l'efficacité des savoir-faire. Le retour comprend l'analyse des essais, des erreurs, des difficultés dans un but formatif et critique.

L’évaluation

Il s’agit d’évaluer la démarche et les idées, et pas seulement le résultat.

La note de service du 29 avril 2003 (publiée au BO n°19 du 8 mai 2003) donne des indications sur la notation :

« Les correcteurs ne manifesteront pas d’exigences de formulation démesurées et prêteront une attention particulière aux démarches engagées, aux tentatives pertinentes, aux résultats partiels. »

« Les concepteurs de sujets veilleront, dans l’attendu des questions et les propositions de barème, à permettre aux correcteurs de prendre réellement et largement en compte la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, la cohérence globale des réponses dans l’appréciation des copies. Les copies satisfaisantes de ce point de vue devront être valorisées ».

Ces indications concernent, tout particulièrement, les exercices comportant une question ouverte pour laquelle une notation en référence à une solution type attendue devient impossible. La commission académique d’entente devra donc donner des consignes pour la prise en compte des aptitudes montrées par le candidat, indépendamment de la stratégie qu’il a choisie, même s’il n’a pas abouti.

La façon d’évaluer et en particulier la prise en compte de résultats partiels doivent être précisées en en-tête de l’exercice de façon à encourager l’élève a démarrer et à rendre ce qu’il a fait, même si ce n’est pas achevé.

Quelques critères :

mobiliser des résultats et des méthodes ;

prendre des initiatives : expérimenter, émettre une conjecture, trouver un contre-exemple, démarrer une démonstration cohérente avec la conjecture) ;

clarté et précision des raisonnements.

Exemple de grille d’évaluation (EVAPM) pour les problèmes de recherche :

Il importe de s’intéresser aux procédures de recherche plus qu’au résultat…

Si “oui” cocher la case correspondante	OUI
L’élève a *expérimenté*
L’élève a émis une *conjecture* acceptable (qui peut être fausse)
L’élève s’est engagé dans une *démarche* ou une *stratégie pertinente* (même si elle n’a pas abouti)
L’élève a donné des *indications* sur la stratégie qu’il a choisie
L’élève a respecté les *notations* et s’est montré précis au niveau du *vocabulaire mathématique*
L’élève a employé un *français correct* et s’est exprimé avec *clarté*
L’élève a fait preuve d’*esprit critique*
Présence d’*incohérence(s) ou de résultat(s) aberrant*(s)
Présence de “*faute(s) de logique*”
Présence d’une *démonstration* (correcte ou non) : calculs, enchaînement de propriétés élémentaires

Exemples de questions ouvertes

en classe de seconde (PDF, 72 Ko)

en classe de première S (PDF, 72 Ko)

en classe terminale S (PDF, 68Ko)

Bibliographie

http://www.apmep.asso.fr/evapm.htm

Narrations de Recherche – Irem de Montpellier – Brochure APMEP N°151

http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/txtoff/bac/exemples.htm

Consulter la synthèse de l'atelier