Comme précisé dans le programme de mathématiques de terminale S, seule l’unicité d’une fonction f dérivable sur R telle que  f’ = f et  f(0) = 1 sera démontrée dans un premier temps, l’existence étant admise ; cette dernière sera établie ultérieurement, à l’occasion de la quadrature de l’hyperbole.

C’est dans cet esprit que s’inscrit la mise au point du GEPS de Mathématique suivante :

Existence de la fonction exponentielle en terminale S

Démontrons l’existence d’une fonction f telle que :

(i)  f’=f

(ii) f(0)=1

à partir de la fonction réciproque g du logarithme népérien, dans le cadre du programme de terminale S.

Comme ln(uv) = ln(u) + ln(v) pour u > 0, v > 0, g vérifie : g(0) = 1 et g(x + y) = g(x) ´ g(y).

• Démontrons que la fonction g est continue en 0.

- Si -1 < h < 0 alors h < g(h) - 1 < 0.

En effet, cette proposition est équivalente à la suivante :

Si -1 < h < 0, alors  ln (1 + h) < h < 0.

Or la fonction ln (1 + h) - h est nulle en 0 et a une dérivée positive pour -1 < h < 0.

- Pour 0 < h < 1, on a : 0 < g(h) - 1 < h + h².

En effet, cette proposition est équivalente à:

Pour 0 < h < 1, on a :  0 < h < ln (1 + h + h²)

Or la fonction ln (1 + h + h²) - h est nulle en 0 et a une dérivée positive pour 0 < h < 1.

En appliquant le théorème des gendarmes, on trouve donc que la limite en 0 de g est g(0), c’est-à-dire que la fonction g est continue en 0.

0n en déduit de plus, toujours par le théorème des gendarmes :

• Démontrons que la fonction g est dérivable partout et vérifie g’ = g.

Pour x et h réels, on a :

D’après les résultats ci-dessus, la fonction g est dérivable en tout point et g’ = g.

La fonction g vérifie donc les conditions (i) et (ii).

Remarques :

- Le commentaire du programme signalant que "démontrer la continuité d’une fonction en un point n’est pas un objectif du programme" concerne avant tout l'évaluation finale et n'empêche pas d'utiliser parfois la définition de continuité de façon guidée. Les calculs ci-dessus peuvent ainsi faire l’objet d’un devoir.

Cependant, le professeur pourra aussi  admettre la continuité de g en 0, en éclairant cette propriété par des considérations graphiques.

On notera que la propriété générale sous-jacente est : si g est monotone sur un intervalle I et si g(I) est un intervalle, alors g est continue sur I. Il est clair que ce résultat est hors programme mais il est conforme à l’intuition graphique (on ne lève pas le crayon …).

L’enseignant peut d’ailleurs aussi admettre la dérivabilité et rendre intuitif ce résultat  par des considérations géométriques qu’il est utile de faire, même dans le cas de la démonstration ci-dessus (si une courbe admet en tout point une tangente non horizontale, sa symétrique par rapport à la première bissectrice admet en tout point une tangente non verticale). On est alors amené à démontrer qu’une fonction dérivable g telle que g(0) = 1 et g(x + y) = g(x) ´ g(y)  vérifie (i) et (ii) (cf. document d’accompagnement).

- Il convient de rappeler que le point de vue adopté par le GEPS est d’assurer la cohérence de l'édifice mathématique construit jusqu'en classe de terminale, tout en veillant à la cohérence globale de la formation proposée aux élèves, en tenant compte au mieux de l'environnement des élèves (formation antérieure, temps disponible, insertion dans la formation scientifique apportée par d'autres disciplines, exigences pour les formations ultérieures, …).

La demande du programme d'introduire rapidement la fonction exponentielle vient ainsi d’une part des besoins de l’enseignement de la physique, d’autre part de l’intérêt  de disposer d'un outil précieux pour les TPE (ces derniers démarrent en effet dès le début de la classe de terminale pour se terminer vers les mois de février-mars ; or dans la pratique antérieure, de nombreux enseignants traitaient la fonction exponentielle après le mois de janvier …).