Somme des termes d'une suite


Projet d'activité créé lors d'un stage
Bordeaux, 2010

Projet d'activité TICE

 

Niveau :

 

1ère S – Terminale S

 

Énoncé :

 

 

Prérequis

 

 

Objectif

 

 

Déroulement de la séquence

 

TP en salle informatique

 

Phase expérimentale :

·         Les élèves calculent à l’aide du tableur OpenOffice les premiers termes de la suite

·         Il est difficile de conjecturer à l'aide des valeurs trouvées l'expression de la suite en fonction de : l’idée est alors de construire le nuage de points

·         On peut alors conjecturer qu’il est possible d’ajuster le nuage de points par une parabole

·         Pour identifier la fonction f d’ajustement, on utilise SineQuaNon (ajustement polynomial d’une série statistique à deux variables)

 

Phase théorique :

·         On vérifie par le calcul l'expression de f en résolvant un système 3x3 obtenu avec trois points choisis de manière judicieuse (à coordonnées entières)

·         En Terminale les élèves démontrent par récurrence l'expression conjecturée.

 

 

Documents

 

 

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Fiche élève

 

On considère la suite deuxième formule définie pour tout n appartenant à N* par : troisieme formule.

1)   Calculer à l'aide d'un tableur les quinze premiers termes de la suite premiere formule , puis compléter le tableau suivant :

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

quatrieme formule

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)   Utiliser le tableur pour faire apparaître la représentation graphique des points (n ; un) ;

 

3)   a/ Conjecturer un type de fonction dont la représentation graphique ajuste au mieux le nuage de points.

b/ Utiliser le grapheur Sinequanon (menu : statistiques à deux variables è lissage polynomial) pour conjecturer l'expression de la fonction.           

c/ Déterminer par le calcul la fonction g définie sur R par cinquieme formule dont la représentation graphique passe par 3 points convenablement choisis du nuage. Écrire ci-dessous le système et sa solution.


d/ Conjecturer l'expression de un en fonction de n.

 

4)   Démontrer la conjecture précédente en utilisant un raisonnement par récurence.

 

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