"Quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube", l'infernale trilogie responsable de nombreux tourments pour les géomètres grecs de l'époque classique, s'avéra au fil des âges, constituer comme on le sait, un extraordinaire terreau d'investigations et de découvertes.

Le contexte des mathématiques grecques du milieu du Vème siècle av. J.C. impose aux géomètres l'usage exclusif de la règle et du compas. Cette exigence, entérinée par Euclide, rend vaines les tentatives des orthodoxes (note). Les obstinés vont donc user de moyens détournés pour parvenir à leurs fins : dispositifs mécaniques, sections coniques, autre courbes... Voici quelques-uns de ces stratagèmes, qui furent étudiés lors du dernier stage académique " Histoire de quelques notions mathématiques ".

• Position du problème
• Exploitation en classe ?
• Fichiers textes ou GeoplanW

Position du problème de la duplication du cube

La légende colporte que, pour enrayer une épidémie de peste qui décimait Athènes, demande fut faite aux géomètres de doubler le volume d'un autel cubique du temple d'Apollon sur l''île de Délos.
Par confort, nous trahirons l'esprit grec en nous autorisant, lorsque nécessaire, l'emploi des notations modernes et des nombres réels positifs mesures des longueurs, plutôt que l'usage de la théorie d'Eudoxe des proportions sur les grandeurs.
Il s'agit donc connaissant l'arête a d'un cube, de déterminer x tel que .
Par bonheur Hippocrate de Chios avait préalablement étudié cette question en montrant qu'il suffisait d' intercaler deux moyennes proportionnelles en proportion continue entre a et 2 a , c'est à dire de trouver x et y tels que : . On a alors en effet : d'où , or d'où , or donc . On obtient également de façon analogue : .

Munis de ce bagage évoquons deux systèmes mécaniques qui, utilisant le travail d'Hippocrate, visent à fournir une solution géométrique au problème.

Une exploitation possible en classe ?

Les savoirs mathématiques essentiellement mobilisés ici :
* théorème de Pythagore , * tangente d'un angle aigu ou * triangles de même forme (machine de Platon), * angles et parallélisme , * théorème de Thalès (mésolabe) et * calcul littéral élémentaire
appartiennent au registre du collégien de Troisième ou du lycéen de Seconde.

Fichiers proposés

Nous proposons pour chacun de des deux problèmes

• Un texte expliquant le fonctionnement de la machine, donnant les justifications mathématiques, et expliquant comment se servir des fichiers Geoplan.
• Différents fichiers GeoplanW.

Dans le cas de la machine de Platon, sont proposés des fichiers Geoplan avec ActiveX.