09/05/2001
Classe de première
Durée : 4 heures.
Les quatre exercices sont indépendants. Les calculatrices sont autorisées.

Exercice I

Les faces d’un dé en forme de tétraèdre régulier sont numérotées de 1 à 4.
Le dé est posé sur une table, face « 1 » contre cette table.
Une étape consiste à faire basculer le dé autour de l’une quelconque des arêtes de sa base .
A l’issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la somme, s, de tous ces nombres après 2001 étapes, en comptant aussi le « 1 » initial.

1)  Donner la valeur maximale et la valeur minimale que l’on peut ainsi obtenir pour s.

2)  La somme s peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre ces deux valeurs ?

Exercice II

Sur un terrain de jeu sont alignés quatre poteaux, plantés en A, B, C et D dans cet ordre.
Ces poteaux délimitent trois buts de largeurs : AB = 1, BC = 2, CD = d, où d est une longueur donnée.
Déterminer l’ensemble des points M du terrain d’où l’on voit les trois buts sous des angles AMB, BMC et CMD égaux.

Exercice III

Un jeu se déroule avec trois joueurs. À chaque partie, chaque joueur gagne une somme fixée selon son classement à la partie.
Ces sommes sont des entiers non nuls distincts deux à deux .
Sachant que ces trois joueurs ont gagné respectivement 20F, 10F et 9F à l’issue du jeu, déterminer le nombre de parties jouées et les sommes attribuées suivant le classement.

Exercice IV

Dessinez un cube C (un dessin même approximatif en perspective suffira).
Soit A un de ses sommets et B le sommet opposé, c’est à dire le point tel que le milieu du segment [AB] soit le centre du cube.
Considérons un autre cube C’ admettant aussi (A, B) comme couple de sommets opposés.
Certaines arêtes de C rencontrent des arêtes de C’. Justifiez le fait que, en dehors de A et B, on obtient ainsi six points d’intersection entre une arête de C et une arête de C’.
Placez l’un d’eux sur le dessin et expliquez comment placer alors les cinq autres.
V étant le volume de C, quelle est la valeur minimale du volume de la portion d’espace commune aux cubes C et C’.