Cette réunion, organisée à la demande des chefs d'établissement de la ZAP d'Arcachon, a permis à une cinquantaine de professeurs de Mathématiques des collèges et lycées de cette zone de se rencontrer et d'échanger sur leurs pratiques pédagogiques autour du thème de la liaison troisième / seconde.

L’animation de la journée était assurée par Monsieur Xavier Sorbe, IA-IPR de Mathématiques de l'académie de Bordeaux, ainsi que par des membres de l'équipe académique Mathématiques.

Monsieur Pernet, proviseur du lycée Nord Bassin d'Andernos où se déroulait la réunion, soulignait dans son mot d'ouverture que le renforcement de la liaison troisième / seconde s'inscrivait, avec l'accent mis sur l'accueil et le suivi des élèves de seconde, au cœur d'un des trois objectifs principaux du projet d'établissement.

Monsieur Sorbe introduisait les travaux en souhaitant que cette réunion soit l'occasion de travailler de façon décloisonnée et permette de conforter ou d'amorcer une telle liaison, en mettant au clair les méthodes utilisées et les objectifs à atteindre. Il précisait que, dans le but de se consacrer à des aspects très concrets de l'enseignement, il avait été choisi de mettre en évidence tout l'intérêt d'une liaison troisième / seconde dans le domaine du calcul littéral.

Plan de la demi-journée

—  Introduction sur les objectifs d’une liaison inter cycle.

—  Les moyens de communication en Mathématiques dans l'académie (bulletin Réciproques, liste de diffusion Listmath, site mathématique).

—  Enjeux des programmes de la sixième à la seconde ; présentation des procédures d'aide ou de soutien et des itinéraires de découverte.
Plus précisément, évolution de l’enseignement du calcul littéral. Problèmes que cela pose aux élèves : étude rapide d’exemples dans les évaluations de seconde ; remédiation.

—  Travail en groupes sur le calcul littéral de la sixième à la seconde. Synthèse.

—  Pistes pour une poursuite de la liaison intercycles.

I- Introduction sur les objectifs d’une liaison inter cycle

—  Permettre aux collègues de se rencontrer et d’échanger sur leurs différentes pratiques.

—  Favoriser une meilleure articulation des enseignements.

—  Mettre l'accent, pour les professeurs de collège, sur les difficultés que pourraient éprouver certains élèves au lycée, connaissant les programmes de lycée ; cela peut aller également dans le sens d'une meilleure orientation des élèves.

—  Réciproquement, présenter aux professeurs de lycée les difficultés que pourront éprouver certains de leurs élèves, connaissant les programmes de collège.

—  Favoriser ainsi une meilleure intégration des élèves au lycée.

II- Programmes et procédures d’aide ;
difficultés liées au calcul littéral ou algébrique.

—  Examen des programmes et de leurs objectifs de la sixième à la seconde, en ce qui concerne le calcul littéral au collège et le calcul algébrique au lycée : mise en évidence de la continuité des programmes.

—  Continuité également des procédures de soutien : deux heures d’aide aux élèves et d’accompagnement de leur travail personnel en sixième, une heure d’aide au travail personnel en cinquième, une heure d’aide individualisée pour huit élèves en difficulté par classe, en seconde. Présentation aux collègues de lycée des itinéraires de découverte qui succèdent aux travaux croisés.

—  Nécessité d'une introduction prudente et très progressive des notions de calcul littéral au collège ; historiquement, cette notion a été très longue à installer ; ce n’est qu’au XVI^e siècle que l’on atteint, avec François Viète, le stade de l'algèbre symbolique : désormais les lettres sont utilisées non seulement pour représenter des quantités inconnues mais également pour désigner des données ; il devient alors possible d'exprimer des solutions générales de problèmes et d'utiliser l'algèbre comme outil pour prouver des règles de calcul.

—  Difficultés rencontrées par les élèves : examen des exercices d’une page d’un cahier d'évaluation de début de seconde (l’évaluation en début de seconde ne se fait plus, mais il demeure possible, et même conseillé, d’utiliser les anciens cahiers pour concevoir des évaluations à distribuer au fil de l’année et du déroulement du travail). Mise en évidence de la difficulté du passage de «l'arithmétique » pratiquée à l’école primaire au calcul littéral en collège ; erreurs provenant d’une mauvaise compréhension des différents statuts de la lettre et de l’égalité, peut-être également d’un apprentissage trop rapide, d’une suppression trop hâtive du signe «multiplié » dans certaines écritures - du type 6(x + 5) par exemple - etc. (on pourra consulter à ce sujet le dossier «Calcul littéral au collège » ; idées de séquences de remédiation.

—  Invitation à bien connaître les étapes du programme du collège, pour les collègues enseignant en lycée, et ce qui est attendu en seconde pour les collègues enseignant en collège.

III- Travail en groupes sur le calcul littéral de la 6^e à la 2^e,
puis synthèse

2. Travail en ateliers

3. Mise en commun des travaux

3.a. Les exercices proposés par les collègues sont présentés ci-après, de façon succincte et sans rappeler les données de départ.

3.b.  La mise en commun des exercices élaborés par chaque groupe permet de dégager les idées principales et surtout les différentes étapes dans l’utilisation de la lettre.

IV- Prolongement

Nous proposons ci-après un exercice qui peut être posé en troisième en enlevant la dernière question, et qui peut être également posé en seconde en changeant éventuellement certaines consignes et en les adaptant un peu. Le tableau de valeurs permet aux élèves de voir «bouger » l’aire quand x varie, et de mieux sentir la notion de fonction ; c’est une notion difficile, dont la mise en place débute en troisième et se poursuit tout au long du lycée.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 12 cm. Le point M décrit le segment [AB]. Le réel x désigne, en cm, la longueur AM. On construit le rectangle AMNP où N appartient à [BC] et P appartient à [AC]. On appelle f(x) l’aire, en cm², du rectangle AMNP. On admet que (C) est la courbe représentative de f dans le repère (O, I, J) ou .

1. Faire une figure, placer le point M tel que AM = (2/3)AB, tracer le rectangle AMNP et calculer son aire. Retrouver ce résultat sur le graphique en laissant apparents les tracés utilisés.

2. Compléter le tableau suivant :

3. Pour quelle position de M l’aire du rectangle AMNP semble-t-elle maximale ? Qu’avez-vous utilisé pour répondre : le graphique, la figure ou le tableau ?

4. Exprimer en fonction de x l’aire f(x) du rectangle AMNP.

5. Vérifier que f(x) = 18 – 2 (x - 3)². En déduire alors que f(x) £ 18.

V- Pistes pour une poursuite de la liaison inter cycles

La liaison inter cycles ne consiste pas qu’en réunions ! Parmi ce qui se fait ou ce que l’on pourrait imaginer entre un lycée et le ou les collèges qui «l'alimentent », citons :

—  les échanges autour des objectifs des programmes, des contenus, des méthodes, des exigences, des orientations ;

—  les échanges sur les contenus des anciens cahiers d’évaluation de seconde ;

—  les échanges de devoirs, les corrections communes ou croisées, l’élaboration commune de devoirs ;

—  la participation croisée aux conseils de classe (troisième - seconde) ;

—  le retour des bulletins de seconde vers le collège d’origine de l’élève ;

— les projets communs : expositions, sorties, rallye mathématique ; pourquoi pas des "défis" entre classe de 3^e et classe de 2^e ? ;

— et enfin les visites croisées de classes : un collègue de collège ouvre sa porte à un collègue de lycée et réciproquement. Ceux qui l'ont fait en témoignent : on prend mieux la mesure de ce que vivent nos élèves et on donne ainsi sa vraie dimension au travail inter cycles !