La réunion du 29 mai 2002 au Collège d'Arsac (Gironde) a permis aux professeurs de mathématiques des collèges d'Arsac, Castelnau Médoc, Hourtin, Lesparre, Pauillac et Soulac de se rencontrer et de faire connaissance, d'échanger sur leurs pratiques pédagogiques en faisant le point sur certains aspects de leur travail.

L'animation de la journée était assurée par Monsieur C. Felloneau et Monsieur X. Sorbe, IA-IPR de Mathématiques de l'académie de Bordeaux, ainsi que par des membres de l'équipe académique Mathématiques.

Le travail de la journée était centré sur le calcul littéral au collège, à partir de l'analyse de travaux écrits des élèves.

Plan de la journée

—  Les moyens de communication en Mathématiques dans l'académie

—  Quelques exemples d'utilisation des TICE en Mathématiques

—  L'introduction de l'algèbre au collège

—  Travaux en ateliers :

§  Initiation au calcul littéral et à la résolution d'équations

§  Introduction de la mise en équation de problèmes

—  Synthèse : le calcul littéral dans les programmes du collège

I- Les moyens de communication en Mathématiques dans l'académie

Bulletin Réciproques

Liste de diffusion Listmath

Site mathématique (ce site)

II- Quelques exemples d'utilisation des TICE

Il s'agit d'utiliser l'informatique à bon escient : le « tout informatique » ne paraît pas judicieux dans notre discipline. Les séquences suivantes souhaitent présenter des exploitations de l'outil informatique dans ce qu'il peut apporter de positif : faire ce que l'on ne pourrait pas faire sans lui (par exemple, création d'images mentales dynamiques en déplaçant des points) ou ce que l'on peut mieux faire avec lui (éclairer la nature du problème posé, favoriser une conjecture, par exemple).

Chacune des deux séquences présentées ci-après se déroule pendant une heure de cours traditionnelle en classe entière, dans une salle équipée d'un ordinateur muni d'un écran rétro-projetable ou relié à un vidéo projecteur.

—  Un problème d'optimisation (3e, Géoplan)

—  Un problème de construction mobilisant une translation (3e, Géoplan)

Chaque séquence est accompagnée d'une fiche élève et de commentaires à l'usage du professeur.

III- L'introduction de l'algèbre au collège

1. Recueil de quelques erreurs commises par les élèves en calcul littéral, repérées par les collègues présents, et leur interprétation.

2. Analyse de ces erreurs : réflexion sur le statut de la lettre, de la parenthèse, de l'égalité.

Une pratique pédagogique en deux étapes est possible avec les élèves :

—  Poser un diagnostic : remettre aux élèves leur copie de devoir à la maison, en leur demandant d'analyser leurs erreurs. Il apparaît très intéressant et très riche d'enseignement pour le professeur de demander à l'élève d'expliquer ce qu'il a fait ; souvent l'erreur n'est pas là où on la pensait ! Par exemple :

"x² + 5x - 3 = -15 x³ tant qu'il n'y a pas un seul nombre dans le résultat, le calcul n'est pas fini"

"A = 6x + 5x. Donc A = 12. J'ai pris x = 0,5 et j'ai fait  6 + 5 = 11 + 1 = 12"

Est-il possible que 3x + 1 = 4x ? "Ce n'est possible que si x = 1 parce que 3x + x = 4x ; et donc x = 1" ; sommes-nous dans le domaine de l'équation ou de l'identité ? ! 

— Remédier aux erreurs ; on va certainement trop vite pour l'assimilation des conventions d'écriture : par exemple il est trop tôt, en début de 5^e, pour supprimer le signe × (multiplié) dans des expressions comme 6x ou 6(x+5) ; c'est une source possible de nombreux exercices : retrouver les sommes, les produits, remettre le symbole × (multiplié) là où il a été enlevé, l'enlever là où on peut, etc.

3. Une réflexion est alors proposée aux collègues présents sur la rupture entre l'enseignement dit "d'arithmétique" à l'école primaire, et l'initiation au calcul algébrique au collège.

4. Le passage de l'arithmétique à l'algèbre : fausses continuités et ruptures.

—  Algèbre : quelques repères historiques

—  Les continuités apparentes

—  Les ruptures

IV- Travaux en ateliers

Atelier 1

Initiation au calcul littéral et à la résolution d'équations.

"Variations sur un même thème" ou comment situer les compétences attendues à chaque niveau du collège dans les domaines du calcul littéral et de la résolution d'équations ; exemples à partir d'une même situation de départ.

On pourra consulter un travail analogue qui a été mené lors d'une réunion de la ZAP d'Arcachon, en octobre 2002, dans le cadre de la liaison troisième / seconde.

Atelier 2

Mise en équation de problèmes ; à quel moment introduire la résolution d'équation et grâce à quel type d'activités ?

Réflexion à partir d'une base d'exercices

Analyse : à quel niveau peut-on donner chacun de ces exercices ? Quelle méthode de résolution utilise-t-on ? Tel exercice est-il pertinent pour montrer le recours à l'algèbre dans la résolution du problème ?

Prolongement

V- Synthèse

Le calcul littéral dans les programmes du collège

Mise en évidence de la nécessité d'une introduction prudente et progressive des notions de calcul littéral de 6e-5e dans le cadre d'un enseignement en spirale.