Liens sur les pavages bipériodiques
Équipe académique mathématiques
C. Drouin
Bordeaux, novembre 2002
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Au sommaire de cette page

A. Prise de contact avec les pavages

B. Logiciels de pavages

C. Des sites de référence

D. Des sites complémentaires

E. Cristallographie

F. Un article scientifique

G. Pages de liens pour passionnés

 

 

A. Prise de contact avec les pavages Haut de page

Cette prise de contact doit se faire de façon graphique, pour le plaisir des yeux. On pourra trouver de beaux pavages, d'Escher ou autre, dans la bibliographie citée, mais aussi dans:

http://library.advanced.org/16661/escher/tessellations.2.html

C'est une partie d'un site très complet sur les pavages, qui se nomme Totally Tesselated. Pour une première approche, se restreindre à parcourir cette page et les suivantes, présentant de belles images d'Escher. Les méthodes d'analyse et de construction des pavages commencent à être abordées.

http://gainsbourg.hrsk.edu.fi/~somaires/pavages/pavages.html

Également une introduction aux pavages par l'oeuvre d'Escher. La créatrice du site habite manifestement en Finlande.

 

B. Logiciels de pavages Haut de page

Une autre facon d'aborder les pavages est de faire tourner des logiciels spécifiques sur les pavages.

En particulier, le logiciel d'un collègue de l'Académie, appelé Pavages, est diffusé par la société Logieduc à l'adresse http://www.logieduc.com. On trouvera sur ce site une version de démonstration gratuite, permettant de construire les pavages, mais pas de les enregistrer, ni de les imprimer. Le logiciel fonctionne sous Windows.

 

http://www.geom.umn.edu/java/Kali/ est l'adresse d'un logiciel fonctionnant sous Java, sur PC OU MAC, que l'on peut télécharger gratuitement. Ce logiciel est moins fouillé que le précédent, mais permet de réaliser des motifs fort agréables, toujours à partir du groupe des isométries du pavage.

 

Ci-dessous l'adresse de téléchargement, à l'Universite de Dresde en Allemagne, d'un logiciel fonctionnant sous DOS, et exclusivement avec des ordinateurs pas trop rapides.

http://www.math.tu-dresden.de/~ganter/ornament.html

Ce logiciel est fort agréable, malgré son côté un peu ancien, et contient également une procédure de reconnaissance du groupe d'isométries d'un pavage donné.

 

C. Des sites de référence Haut de page

Les deux sites donnés ci-dessous sont à la fois très complets et très accessibles. Leur seul inconvénient est d'être en anglais...mais ce n'est pas insurmontable, surtout quand il s'agit de mathématiques et de géométrie.

A noter quePavage se traduit en anglais par Tesselation ou encore Tiling, ce dernier mot provenant de Tile qui veut dire Tuile.

Un pavage doublement périodique est dénommé par un mathématicien anglophone "pavage papier-peint", ou plus exactement wallpaper tiling.

 

http://library.advanced.org/16661/index2.html

Il s'agit du site Totally Tesselated. Il est consacré presque exclusivement aux pavages doublement périodiques, et plus particulièrement aux pavages par des polygones. Les liens qui font table des matières se trouvent dans l'image du haut. On pourra consulter en particulier : "Essentials", "Escher".

 

http://www.ScienceU.com/geometry/articles/tiling/wallpaper.html

C'est la partie du site ScienceU consacrée aux pavages doublement périodiques. Contrairement au site précédent, ces pages traitent également d'autres sortes de pavages.

 

Ces deux sites peuvent être complétés par un site d'un niveau moins accessible, mais avec beaucoup de choses intéressantes... et de belles images. Ce site sur les pavages, extrêmement complet, va fort loin et présente en particulier les "ensembles minimaux / espaces quotients" associés aux pavages. "Orbitfolds") :

http://comp.uark.edu/~cgstraus/symmetry.unit/index.html

 

Une partie du site de Dave Joyce : voici les pages sur les pavages plans, mais Monsieur Joyce s'interesse à de très nombreux thèmes mathématiques.

http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/

 

D. Des sites complémentaires Haut de page

D'autres sites intéressants également, mais d'accès moins facile. De plus les pavages ou les frises ne représentent qu'une partie des sujets qu'ils traitent. On peut y trouver des informations utiles, mais il faut trier l'information, et ne pas s'y perdre.

 

http://xavier.hubaut.info/coursmath/pol/escher.htm

Le site de ce professeur belge est impressionnant, (et en français !), mais seule une partie est consacrée aux pavages.

Cette première page traite des pavages "à la Escher" (doublement périodiques).

Une seconde adresse aboutit à de beaux pavages du plan par des polygones réguliers.

 

http://xavier.hubaut.info/coursmath/pol/pavages.htm

Pour obtenir ces pavages, cliquer sur les différents points, sur les côtés des triangles, qui sont associés à des triplets de rationnels.

 

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/2dspcgrp.htm

Site de Monsieur Steve Dutch, de l'Université du Wisconsin. Le lien ci-dessus traite des pavages du plan. Il y a peu d'images. Le lien ci-dessous concerne les frises.

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/1dspcgrp.htm

Monsieur Dutch est cristallographe. On trouvera l'index de ses pages sur les symétries, les pavages et la cristallographie, à l'adresse suivante :

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/symmetry.htm

 

E. Cristallographie Haut de page

Sur les cristaux, outre le site ci-dessus, on pourra consulter l'édition Internet par un professeur de l'Université du Mans d'un ouvrage en anglais :

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/chimie/01/licence/cristallochimie/lecture_1/lec1.html

© S.J.Heyes, Oxford, 1996, Traduction -Adaptation : C. Jacoboni, Le Mans, 1998

 

F. Un article scientifique Haut de page

Voici un texte en anglais, de niveau assez élevé, mais qui a l'avantage de donner un exemple d'un vrai article scientifique, présenté à un congrès.

Il traite de plusieurs sujets.

* Les pavages doublement périodiques semi-réguliers, avec des polygones de plusieurs formes

* Les pavages historiques de Dürer et de Kepler.

* Les pavages non périodiques

* Les cristaux et les quasicristaux.

http://www.sb.fsu.edu/~caspar/201/

 

 

G. Pages de liens pour les passionnés Haut de page

Parmi les liens fournis sur ces pages, il est sans doute ardu de faire un tri, et seul a priori les enseignants pourront les exploiter. Mais il y a sans doute des trésors à y découvrir.

Tout d'abord, les signets de "Totally Tesselated", fort riches :

http://library.advanced.org/16661/links.html

http://xahlee.org/Wallpaper_dir/c6_RelatedWebSites.html

Des liens commentés et classés :

http://www.geom.umn.edu/software/tilings/TilingSoftware.html

Une page de liens sur les logiciels de pavages :

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/tiling.html

Les liens sur les pavages du site The Geometry Junkyard. Des liens extrêmement nombreux, dans lesquels sans doute il convient de faire le tri. Concerne tous les types de pavages, réguliers ou non.

 

 

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