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Andreï Kolmogorov est certainement un des mathématiciens les plus importants du XXème siècle. Son nom est particulièrement associé à la Théorie des Probabilités, à la Théorie des Systèmes dynamiques, à la Théorie de l'Information et à la Topologie.

Un des travaux majeurs de Kolmogorov est la formalisation de la théorie des probabilités sous une forme axiomatique, qu'il effectue dans un article en allemand de 1933, Grundbegriffe der Warscheinligkeitsrechnung, (Les fondements du calcul des probabilités). Il développe notablement cette même théorie, s'intéressant en particulier aux processus de Markov (nommés d'après Andreï Markov, 1856-1922).

En topologie, il développe une théorie très importante, celle de l'homologie et de la cohomologie, en même temps que le mathématicien américain James Alexander, mais de façon indépendante.

En théorie des systèmes dynamiques, il ouvre une nouvelle théorie, appelée KAM, des initiales de ses créateurs, Kolmogorov, et deux collaborateurs, Arnold et Moser. (Pour une présentation naïve des systèmes dynamiques, qui n'aborde pas la théorie KAM, voir la notice sur J.-C. Yoccoz).

En Théorie de l'Information, Kolmogorov tente de répondre à la question suivante : À quoi voit-on qu'une suite est une suite de nombres tirés au hasard, au lieu d'obéir à une loi, éventuellement très bien cachée. Il arrive à définir le concept de "suite n'obéissant pas à une loi", en utilisant le concept d'algorithme, ou plutôt, , d'absence d'algorithme. (En fait, la définition de Kolmogorov, qui souffrait d'un défaut, a été améliorée par le mathématicien suédois P. Martin-Löf). Appelons une telle suite "contingente". On peut montrer qu'une suite "contingente" en ce sens vérifie les théorèmes sur les suites de variables aléatoires qui ne sont gouvernées que par le hasard, au sens de la théorie des probabilités. Kolmogorov fait aussi intervenir le concept d'entropie dans ce domaine de recherche. Ces quelques aperçus sont tirés de l'ouvrage d'Ivar Ekeland, Au hasard, Seuil, Science ouverte, 1991.

Non content d'avoir résolu en partie le Sixième problème de Hilbert (l'axiomatisation des Probabilités ; Hilbert aurait souhaité axiomatiser toute la Physique), Kolmogorov résout totalement son treizième problème.

Kolmogorov a mené une carrière extrêmement rapide et brillante. Entré à l'Université de Moscou en 1920, à l'ge de 17 ans, il publie des résultats remarquables dès 1922. Avant même d'obtenir son diplôme et de bénéficier d'un statut de chercheur, il publie de très nombreux articles. Il y est nommé professeur en 1931, puis il devient directeur du département de mathématiques et statistiques.