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Henri Poincaré est, avec David Hilbert, l'un des deux mathématiciens majeurs, au passage du XIXème au XXéme siècle.

Il est le fils d'un professeur de médecine de Nancy. Son cousin, Raymond Poincaré, fut président de la république pendant la première guerre mondiale. Henri est élève de l'École Polytechnique, puis de l'École des Mines, avant de mener un carrière universitaire et d'être professeur à Polytechnique.

Les travaux d'Henri Poincaré portent sur des domaines très divers des mathématiques et de la physique. On a dit de lui et de Hilbert qu'ils furent les derniers à maîtriser l'ensemble du savoir mathématique. Il s'intéressa aux équations différentielles, et inventa une classe de fonctions, les fonctions automorphes. Il est l'un des pionniers de la Topologie, cette branche des mathématiques portant (en gros) sur les propriétés des objets géométriques qui ne changent pas quand on déforme ces objets, et plus précisément de la topologie algébrique. Il s'intéresse aussi à la théorie des nombres.

Henri Poincaré a également mené des travaux en mécanique céleste. Il a remporté un concours mathématique international sur le Problème des Trois Corps, qui peut s'énoncer ainsi : Trois corps célestes, dans le vide, exercent chacun sur les deux autres des forces de gravitation. Quelles vont être leurs trois trajectoires ? Cet énoncé, très simple, conduit tout aussi simplement à un système d'équation différentielle dont Poincaré a démontré qu'il était très difficile de le résoudre. Les études de Poincaré ont inauguré la Théorie des Systèmes dynamiques (voir Kolmogorov et Yoccoz), ainsi que la Théorie du Chaos, qui a pris une grande ampleur vers la fin du XXème siècle. Il s'est intéressé à un grand nombre de problèmes de Physique, et fut l'un des précurseurs de le Relativité restreinte.

Il a écrit divers ouvrages de vulgarisation et de philosophie des mathématiques et de la physique. La science et l'hypothèse (1901), La valeur de la science (1905), La Sciences et méthodes (1908), sont d'une lecture toujours passionnante. Ils ont été réédités au format de poche, chez Flammarion (Champs). Car Henri Poincaré a aussi conduit une réflexion philosophique sur les sciences, qui l'a amené à intervenir dans le débat sur les fondements des mathématiques, avec Bertrand Russell, David Hilbert. Dans ce débat, il adopte une position intuitionniste, qui s'oppose aux points de vue logiciste, ou formaliste.