Le contenu de cet atelier est très largement développé dans une brochure intitulée « le raisonnement au collège » disponible sur ce site.

Dans un premier temps, une lecture détaillée des textes officiels a mis en lumière plusieurs points :

 la pratique de l’argumentation commencée en primaire se poursuit au collège pour amener à la démonstration ;

 la préoccupation de prouver et de démontrer ne se cantonne pas au domaine géométrique ;

 la phase de recherche et de production d’une preuve ne doit pas être occultée par des exigences trop importantes sur la mise en forme de cette preuve ;

 l’importance de faire distinguer aux élèves une propriété conjecturée d’une propriété démontrée ;

 dès la 6^e, on doit habituer l’élève à justifier ses affirmations, à argumenter…

En second lieu, nous avons classé des exercices selon le ou les type(s) de raisonnement utilisé(s) dès la 6^e.

L’enseignement des mathématiques fait appel à quatre types de raisonnement au collège, auxquels s’ajoutent les raisonnements par équivalence et par récurrence au lycée.

Il est à remarquer que plusieurs exercices proposés peuvent être résolus en utilisant des raisonnements différents selon la démarche, voici le classement réalisé :

 déductif :1, 2, 4, 6, 8, 9

 contre-exemple : 3, 5

 disjonction de cas : 1, 2, 9

 absurde :1, 2, 7, 9

Le raisonnement déductif n’est pas le seul raisonnement utilisé ; en 6^e, les élèves ont souvent recours à des procédures personnelles et utilisent la disjonction de cas et l’absurde de manière naturelle, sans formalisation bien sûr.

Le troisième temps a été un moment privilégié pour prendre en compte la rupture école-collège liée au raisonnement déductif.

Nous avons souligné la difficulté de passer d’une géométrie de perception à une géométrie de déduction : à l’école primaire, un quadrilatère est un rectangle parce que l’élève voit avec l’équerre qu’il possède quatre angles droits alors que nous attendons bien plus de sa part en sixième. La majorité des élèves se contentent de simplement mesurer pour donner leur réponse là où nous attendons un raisonnement axé sur les propriétés d’une figure.

L’étude de quelques manuels a montré des exercices à éviter dans lesquels on justifie en mesurant ou en utilisant les outils, d’autres en revanche distinguent bien les verbes « sembler » et « être ». Il est prudent de bien choisir ses exercices sur ce point.

Pour mettre en place cette nécessité de démontrer, nous avons mis en évidence deux types d’activités qui paraissent capitales :

il faut pouvoir fournir aux élèves des situations où précisément leur « œil » est trompeur et seul un raisonnement mathématique invalide l’idée. Voici quelques exercices dans cet esprit, ainsi que quelques productions d’élèves pour le dernier de ces exercices.

 La notion de conjecture joue un rôle très important, elle permet de bien scinder ce que l’on voit de ce que l’on démontre mathématiquement. Certains manuels n’hésitent pas à définir clairement le mot « conjecture » et à l’utiliser de façon pertinente dans les exercices ou les activités. Voici une idée d’activité pour faire travailler nos élèves sur la notion de conjecture. Il peut aussi être intéressant dans un même exercice de poser plusieurs questions, certaines des réponses pouvant être démontrées, et d’autres ne le pouvant pas.

Le dernier temps de l’atelier a permis de faire le point sur les exercices de raisonnement déductif en géométrie pouvant être posés en 6^e.

Nous avons noté les différents domaines du programme permettant de faire des séquences déductives. Les droites parallèles et perpendiculaires sont évidemment propices, mais pas seulement, surtout avec les nouveaux programmes : nous allons bien plus loin sur les propriétés des figures (diagonales et angles). Ce sera un moment privilégié pour bien séparer ce qui semble vrai et ce qui est vrai !

A l’aide d’un document regroupant des exercices de géométrie, nous nous sommes posés les questions suivantes : jusqu’où peut-on aller avec les élèves ? quelles sont nos attentes de rédaction ? Plusieurs paramètres ont été évoqués : le nombre de pas déductifs, le détail des questions intermédiaires, le contexte de l’activité (travail autonome, en groupes, évaluation…).

Voici quelques commentaires qui ont été faits sur les exercices considérés :

 Pour l’exercice 1, l’examen de quelques productions d’élèves a fait ressortir que l’exigence de rédaction ne doit pas être une priorité en 6^e. Nous nous attacherons à la recherche de la preuve plus qu’à sa mise en forme.

 L’exercice 2, certes complexe, est intéressant à poser tel quel en recherche, peut-être en travail de groupe pour permettre une mise en commun des différentes pistes. La rédaction de la démonstration, qui peut être faite avec l’aide de l’enseignant, n’est pas l’objectif principal.

 L’exercice 3 illustre bien que la rédaction de la démonstration ne peut pas être un objectif en soi ; ici elle serait très longue. La recherche de la preuve peut passer par le codage, et peut-être une explicitation orale de la démarche, ou encore l’écriture d’un « plan » de démonstration, plutôt qu’une rédaction complète.

 L’exercice 4 peut être approprié pour une évaluation avec des exigences de rédaction précises, les questions étant très détaillées.

 L’exercice 5 se prête bien à une utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour accompagner les discussions en classe (la réponse dépend-elle de la position des points A et B ?)