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Rétrospectivement, le travail d'Euler, en tant que grand mathématicien du XVIIIème siècle, nous paraît certes glorieux, mais facile. Il s'agissait de se servir des outils merveilleux qu'avaient forgés ses prédécesseurs, l'Analyse infinitésimale de Newton et Leibniz, les Nombres imaginaires de Cardan et Bombelli, l'Arithmétique de Fermat, et muni de tel moyen, d'explorer plus largement les domaines correspondants, d'établir entre eux des liaisons. . . D'un point de vue rétrospectif, les découvertes semblent aussi sensationnelles qu'inévitables. Mais ce travail qui peut paraître "tout tracé", Euler l'accomplit de façon puissante, dans toutes les directions, avec une capacité mathématique et une capacité de travail étonnantes. Il a sûrement été l'un des mathématiciens les plus productifs de l'histoire, malgré la perte d'un œil en 1740, la perte totale de la vue en 1771 . . . et ses treize enfants.

Dans le seul domaine de l'Analyse, faire la liste de tous les résultats obtenus par Euler nous prendrait trop de place ! Nous lui devons un très grand nombre de nos notations, parmi lesquelles f(x) pour une fonction, e , i , . Parmi ses formules les plus simples et peut-être les plus belle, citons e^i + 1 = 0 et e^ix = cos x + i sin x ; parmi ses inventions en Analyse, citons la fonction GAMMA, ou intégrale eulérienne, qui généralise la factorielle pour des valeurs non entières, la constante d'Euler gamma, limite de la suite 1/1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/n - ln ( n), la fonction dzéta, si importante en théorie des nombres. . . mais il s'intéresse aussi à un très grand nombre d'équations différentielles, et met au point leur résolution dans le cas linéaire. Il fonde également le calcul des variations...

Il fait faire également à la Théorie des Nombres d'énormes progrès. Il démontre la grande conjecture de Fermat pour un exposant égal à 3, introduit sa fonction multiplicative phi (nombre de diviseurs), traite différentes autres conjectures avancées par Fermat, introduit comme nous l'avons signalé la fonction dzéta, démontre la formule fondamentale : dzéta (s) = Produit des 1/ (1-p^s), étendu à tous les nombres p premiers, et écrit même l'équivalence, en plus l'infini, entre ln (ln (x)) et la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à x (au sens où le quotient de ces deux expressions tend vers 1). . . Il s'intéresse aussi à la géométrie, particulièrement la géométrie analytique, la géométrie différentielle, la topologie, dont il fut le fondateur.

En fondant la Topologie, il fonde également la Théorie des Graphes, qui vient de faire son entrée dans les programmes de Lycée (ES, Spécialité, Septembre 2002), en résolvant et en généralisant le fameux Problème des ponts de Koenigsberg, dont la généralisation s'exprime ainsi : quels sont les graphes non orientés dont on puisse parcourir toutes les arêtes une fois et une seule ? Euler résout ce problème, qui généralise celui relatif aux parcours (une fois et une seule) des différents ponts de la ville de Koenigsberg. Pour le Problème des ponts de Koenigsberg, voir un article du bulletin Réciproques, ou une page du site de l'Université de St-Andrews. Pour des présentations de la Théorie des Graphes, voir une page de notre Site.

Euler mena une œuvre de premier plan en Mécanique, mais il s'intéressa aussi dans divers écrits à l'astronomie, à l'hydrodynamique, à l'artillerie... et à la musique.

Euler était Suisse, né à Bâle. Il fut l'élève de Jean Bernoulli, Balois lui aussi, frère de Jacques et comme lui disciple de Leibniz. Il part en Russie en 1727, mais passe les années 1744-1766 à Berlin, près de Frédéric II de Prusse (et de Voltaire), avant de revenir en 1766 à Saint-Pétersbourg, auprès de Catherine II de Russie. Il y meurt 7 ans plus tard, après une journée de travail ordinaire, c'est-à-dire intense.