C. Drouin
Bordeaux, novembre 2002
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| 3.1. Notions générales sur les dessins bipériodiques |
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| Équipe académique mathématiques C. Drouin Bordeaux, novembre 2002
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Les dessins (ou pavages) bipériodiques sont le champ privilégié pour s'initier au type de problème qui nous intéresse : pavages, isométries, groupe d'isométries... Il s'agit tout simplement des ensembles (ou décors, voir ci-dessous) qui sont globalement invariants par deux translations "indépendantes". On appelle encore "Papiers peints" (en anglais : "Wallpapers") ce type de décors ou de pavages.
Cette fiche présente les connaissances de base sur le sujet des dessins bipériodioques. Elle indique comment les analyser.
Au sommaire de cette page
A. Dessins bipériodiques et translations. Dessin. Décor. Bipériodicité. Vecteurs de base. Ensemble translaté de base (polygone, parallélogramme).
B. Isométries associées à un dessin bipériodique. Isométries du dessin. Ensemble minimal (polygone). Dessins bipériodiques figuratifs. Ensembles translatés adaptés (polygone, parallélogramme).
C. Classification des dessins bipériodiques (partie plus théorique) Théorème de classification des dessins bipériodiques. Théorème de classification des rotations de G. Liens vers des esquisses de démonstrations.
A. Dessins bipériodiques et translations
1. Dessin
On considère ici qu'un dessin dans le plan n'est autre qu'un sous-ensemble D du plan. Dans le cas par exemple d'un dessin en noir et blanc, on peut considérer que D est l'ensemble des points du plan en noir, l'ensemble complémentaire de D étant en blanc.
2. Bipériodicité
Soit D un dessin dans le plan, c'est-à-dire un sous-ensemble du plan. On dit que D est bipériodique si D est invariant par deux translations de vecteurs non colinéaires u et v.
On veut dire par là que l'image de D par tu coïncide exactement avec D lui-même, et que, de même, l'image de D par tv coïncide avec D.
On peut noter cela : tu(D) = D et tv(D) = D.
On peut exprimer cette propriété mathématique de façon concrète : si on décalque D, et si on fait glisser le calque, sans le faire tourner, (c'est-à-dire si on translate le calque), on peut de nouveau faire coïncider le dessin de D sur le calque avec D, et ce en allant dans deux directions différentes.
Remarque sur la définition de bipériodicité
3. Notion de décor et décor invariant
On peut aussi vouloir donner de l'importance aux couleurs de la figure. On parle alors de décor du plan. Dire qu'un décor est invariant par une translation tu du plan, c'est dire que toute partie P du décor se transforme par tu en une partie tu(P) ayant mêmes formes et mêmes couleurs.
On dit bien sûr qu'un décor est bipériodique s'il est invariant par deux translations de vecteurs non colinéaires.
4. Vecteurs de base
Définition
Dans le cas "ordinaire" (sous l'hypothèse de discrétion en particulier), parmi tous les couples (u,v) de vecteurs non colinéaires tels que les translations associées laissent toutes deux le dessin invariant, il existe des couples (u,v) de vecteurs de normes minimales.
On appelle alors u et v vecteurs de base ou vecteurs minimaux du dessin.
De même, les translations associées seront nommées "de base" ou "minimales".
Théorème
Si u et v sont des vecteurs de base du dessin bipériodique, alors toute translation tw du dessin est telle qu'il existe des entiers relatifs k et l avec : w = k.u+ l v.
Note sur les vecteurs minimaux et démonstration
Remarque
Dans toute la suite, on suppose que l'hypothèse de discrétion est vérifiée et en particulier qu'il existe des vecteurs minimaux.
Des précisions sur l'hypothèse de discrétion
Activité
Analyser un dessin ou un décor. Repérer deux translations minimales associées à des dessins (ou décors) bipériodiques. Savoir trouver la translation de vecteur k.u + l v , avec k et l entiers relatifs, envoyant tel motif sur tel autre, identique.
5. Ensemble translaté de base
Il s'agit d'une partie E du plan, fermée (c'est-à-dire : contenant sa frontière), connexe (c'est-à-dire d'un seul tenant), ayant la propriété suivante :
" Les translatés de E par les translations de vecteurs k.u + l.v, avec k et l entiers relatifs, recouvrent totalement le plan, sans laisser de vide, et sans empiéter l'une sur l'autre, sinon par leurs frontières."
Autrement dit, les translatés de E réalisent un pavage du plan, invariant par les mêmes translations que le dessin lui-même.
(Pour les définitions de ce qu'est un pavage, et de ce qu'est l'invariance d'un pavage par une transformation, voir la fiche sur les pavages généraux.)
Remarques
1. Comme tout dessin bipériodique donne lieu à un pavage, et même à une infinité de pavages possibles, on parlera tout aussi bien de pavages que de dessins bipériodiques.
2. Tout parallélogramme dont les côtés
portent les vecteurs u et v, est un ensemble translaté
de base.
Mais la partie du dessin tracée dans ce parallélogramme n'a généralement
pas une forme agréable. Souvent, le motif même du pavage, ou une
réunion de motifs, fournit un ensemble translaté de base plus
esthétique et plus commode.
3. Tous les ensembles translatés de base ont la même aire.
On parle bien sûr de polygone translaté de base, ou de parallélogramme translaté de base lorsque l'ensemble translaté de base est de forme particulière, ces formes étant souvent commodes.
Activité
Repérer de tels ensembles translatés de base sur des exemples de dessins ou pavages
Remarque
Il est très fréquent qu'un dessin bipériodique puisse être découpé en un pavage semi-régulier, par exemple avec deux modèles distincts de pavés. On en verra des exemples plus loin ici même ; on peut aussi en trouver, par exemple, dans "Le monde des pavages" (voir la bibliographie sur la page d'introduction).
Le même dessin, comme il est courant, peut donc être découpé suivant deux pavages distincts : un pavage en parallélogramme et un pavage en pavés ayant deux formes différentes. On peut souvent y ajouter un troisième pavage, à l'aide d'un ensemble minimal (voir le paragraphe B ci-dessous).
B. Isométries associées à
un dessin bipériodique
1. Réflexion glissée
En général, les dessins bipériodiques admettent d'autres isométries que des translations les laissant globalement invariants.
Outre les traditionnelles translations, rotations (dont symétrie centrale), réflexions (c'est-à-dire symétries orthogonales), on a également besoin de la réflexion glissée.
On appelle réflexion glissée la succession d'une réflexion s d'axe et d'une translation tw ( dont le vecteur directeur dirige l'axe de la réflexion s). Mathématiquement, l'isométrie résultante est appelée composée des isométries s et tw, et notée tw o s.
Analyser une figure
Repérer les isométries laissant le dessin globalement invariant.
2. Transformation laissant le dessin globalement invariant
On dit qu'une transformation f laisse le dessin D globalement invariant si l'image de D par f coïncide exactement avec D lui-même, c'est-à-dire si f(D) = D.
Pour matérialiser cette propriété, on peut utiliser un papier calque. On décalque D. Dans le cas par exemple d'une rotation r de centre O et d'angle a, r laisse D invariant si, en faisant tourner le calque autour de O de l'angle a, D revient coïncider avec lui-même.
Une réflexion correspond à un retournement du calque.
De même, on dit qu'une isométrie f laisse invariant un décor lorsque toute partie P du décor se transforme par f en une partie f(P) ayant mêmes formes et mêmes couleurs.
Attention
Une isométrie f peut fort bien laisser les dessins (les formes) invariants et ne pas respecter les couleurs. Quand on recherche les isométries d'une figure, il faut spécifier s'il s'agit du décor coloré ou du seul dessin.
Analyser une figure
Tracer les axes de symétrie, placer les centres des rotations laissant le dessin invariant.
Il est conseillé pour cela d'utiliser une feuille de papier calque.
On peut remarquer qu'à l'intersection de deux axes, on a toujours un centre de rotation. Mais il peut y avoir d'autres centres.
On obtient aussi un ensemble de points et d'axes qui est essentiel pour l'étude du dessin bipériodique et qui en est comme le "squelette". On appellera cet ensemble : la trame du dessin.
Prérequis : réciproque d'une rotation, d'une translation, d'une réflexion.
3. Ensemble minimal
On appelle ensemble minimal une partie M du plan telle que, si l'on prend tous ses ensembles transformés f(M) par toutes les isométries f laissant le dessin invariant, les ensembles f(M), tous distincts, recouvrent le plan, sans empiéter l'un sur l'autre, sinon éventuellement à leurs frontières.
Autrement dit, les ensembles f(M) réalisent un pavage du plan.
On appellera motif minimal l'intersection du dessin, ou bien du décor, avec l'ensemble minimal.
On parle de polygone minimal ou de parallélogramme minimal lorsque l'ensemble minimal revêt une de ces formes.
Analyser une figure
Repérer un ensemble minimal d'un dessin isométrique
4. Dessin bipériodiques figuratifs
On appelle dessin bipériodique figuratif un dessin pour lequel il est possible de choisir un ensemble minimal qui ait une forme en elle-même figurative (un objet, un animal, un personnage). Autrement dit, les contours de l'ensemble minimal font partie du dessin. Le dessin entier apparaît alors comme la répétition d'une seule forme.
Il est souvent utile dans ce cas de colorer les différents exemplaires de l'ensemble minimal avec plusieurs couleurs, pour que les frontières entre eux soient plus visibles.
Le décor apparaît alors manifestement comme un pavage, le pavé naturel étant évidemment l'ensemble minimal à motif simple.
Ces pavages sont parmi les plus esthétiques.
5. Ensemble translaté adapté
Un ensemble translaté adapté pour un dessin ou un décor D est un ensemble translaté de base de D, qui a, de plus, la propriété d'être constitué de la réunion d'un ensemble minimal M et d'images de M par certaines isométries du pavage.
L'intérêt d'un ensemble translaté adapté E est qu'il fait apparaître certaines rotations, symétries, symétries glissées de D.
On parle bien sûr de polygone translaté de base, adapté, ou de parallélogramme translaté de base, adapté, pour parler d'ensembles translatés de base adaptés de formes particulières, ces formes étant souvent commodes.
Analyser une figure
Repérer un ensemble translaté adapté dans le cas d'un dessin isométrique
Activité mathématique
Composer entre elles des isométries du dessin.
La transformation composée est encore une isométrie du dessin. De même, la transformation réciproque d'une isométrie du dessin est encore une isométrie du dessin. On peut exprimer cela de la façon suivante : l'ensemble des isométries d'un dessin bipériodique est un groupe.
C. Classification des dessins bipériodiques
En faisant l'hypothèse de discrétion, on peut faire une liste de toutes les possibilités pour l'ensemble des isométries du dessin bipériodique. On peut ainsi les classer, et ce classement correspond bien à l'aspect que peuvent revêtir pour l'oeil les différents dessins bipériodiques.
Théorème 1 : classification des dessins bipériodiques
Il y a exactement 17 types de dessins bipériodiques vérifiant l'hypothèse de discrétion, chacun de ces types correspondant à une possibilité pour l'ensemble G des isométries du dessin, et à un modèle de trame du dessin (nature des isométries, dispositions relatives de leurs éléments géométriques: vecteurs, centres, axes).
Ces 17 familles sont décrites dans les fiches suivantes :
La fiche 3.2 présente un seul type de dessin bipériodique, qui se caractérise par le fait que les seules isométries du dessin sont des translations.
La fiche 3.3. présente les huit types de dessins bipériodiques qui admettent comme isométries des rotations qui ne sont pas des symétries centrales.
La fiche 3.4. présente les huit types de dessins bipériodiques qui n'admettent pas comme isométrie d'autres rotations que les symétries centrales.
Notations
Le théorème de classification repose principalement sur un théorème donnant les angles possibles de rotation. On note désormais D un dessin ou un décor bipériodique vérifiant l'hypothèse de discrétion, et G l'ensemble des isométries de D.
Théorème 2 : classification des rotations de G
Les rotations laissant D invariant ont nécessairement pour angle, au signe près : 180° , 120°, 90°, ou 60°.
De plus, en supposant que D admette une rotation d'angle a parmi les angles ci-dessus, l'ensemble Ca des centres des rotations d'angle a laissant D invariant est constitué d'un réseau de points, aux sommets d'un pavage du plan par des triangles équilatéraux, des carrés ou des parallélogrammes, suivant la valeur de a.
Démonstration du théorème de classification des rotations des dessins bipériodiques
Esquisse de démonstration du théorème 1 de classification des dessins bipériodiques
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