Cahiers d'Analyse

Équipe académique Mathématiques
Bordeaux,mai 2006

Tout le chapitre (PDF, 179 Ko ; 15 pages)

Produit à somme constante (PDF, 127 Ko)
Étude de la variation du produit de deux nombres réels positifs dont la somme est constante.

Somme à produit constant (PDF, 64 Ko)
Étude de la variation de la somme de deux nombres réels positifs dont le produit est constant.

Produit à somme de carrés constante (PDF, 53 Ko)
Étude de la variation du produit de deux nombres réels positifs dont la somme des carrés est constante.

La voiture insuffisante (PDF, 47 Ko)

Voulant partir déjeuner, à bord de deux voitures, dans une auberge de campagne, neuf amis voient leur projet compromis par la panne de l'un des véhicules. La matinée étant avancée et l'espoir de trouver un garagiste bien mince, décision est prise de n'utiliser qu'un véhicule. Les amis se répartissent en deux groupes, la voiture amène le premier à destination puis revient chercher l'autre qui, pour ne pas perdre de temps, aura commencé le trajet à pied.

Cette stratégie est-elle la meilleure pour que les amis soient réunis le plus tôt possible à l'auberge  ?

Bien sous tous rapports (PDF, 74 Ko)

Une fonction est le quotient d'une fonction affine par une fonction du second degré dont on connaît les courbes représentatives.

On se propose de déterminer quelques propriétés de cette fonction et de sa courbe représentative à partir des courbes données.

On s'intéresse également au problème réciproque.

Intersections minimales (PDF, 58Ko)

On se propose de résoudre le problème de baccalauréat d'avril 1921.

Tout le chapitre (PDF, 165 Ko ; 11 pages)

C'est très limite mais ça continue (PDF, 58 Ko)

Étude de la continuité en 0 de différentes fonctions.

A saute fonction (PDF, 77 Ko)

Une fonction f est continue en a si f admet f(a) pour limite en a.

Si deux fonctions sont continues en un point, leur somme, leur produit, est aussi continu en ce point. De même, si f est continue en a et g continue en f(a), alors la composée de f suivie de g est continue en a.

Mais que conclure si l'une des fonctions de départ n'est pas continue "là où il le faut" ?

L'étude de quelques fonctions bâties à partir de la fonction « partie entière » va tenter d'apporter des éléments de réponse.

Dinostrate passe à la limite (PDF, 72 Ko)

Étude d'une construction géométrique du nombre pi due aux mathématiciens grecs de l'Antiquité et comportant un passage à la limite.

Les bornes atteintes, il n'y a plus de limite (PDF, 86 Ko)

Il ne faut pas penser que toutes les fonctions sont continues. Mieux, les fonctions discontinues ne sont pas des objets mathématiques aussi rares, aussi abstraits, aussi artificiels qu'on pourrait le croire. Elles peuvent intervenir naturellement, par exemple en électronique, en physique plus généralement, mais aussi en mathématiques.

Les exercices de cette séquence présentent différentes situations mathématiques où la continuité mène à la discontinuité.

Tout le chapitre (PDF, 553 Ko ; 22 pages)

Monotonie sur une réunion d'intervalles (PDF, 71 Ko)

Si f est une fonction croissante (respectivement décroissante) à la fois sur un intervalle I et un intervalle J non vides, alors f est-elle une fonction croissante (respectivement : décroissante) sur l'ensemble K = I ? J ?

Composées et réciproques (PDF, 60 Ko)

On se propose d'étudier une fonction définie par intervalles en utilisant les propriétés de sa fonction réciproque.

De courbes en courbe (PDF, 56 Ko)

On se propose de construire, dans un cas particulier, la représentation graphique d'une fonction non définie explicitement.

La tortue et le lapin d'Alice (PDF, 98 Ko)

Alice ne trouva pas non plus très extraordinaire d'entendre le Lapin marmonner « Oh ! Mon Dieu, mon Dieu ! Je vais être en retard. » (...) En revanche, quand elle vit le Lapin tirer une montre de la poche de son gilet, regarder l'heure puis partir en courant, Alice bondit, car elle venait de comprendre dans un éclair qu'elle n'avait jamais vu un lapin tirer une montre de la poche de son gilet.(Alice au pays des merveilles, Lewis Carroll)

Pourquoi une montre ? Alice ne sait pas que le Lapin en a besoin car il a rendez-vous avec la Tortue de la fable pour pique-niquer à la campagne ...

Lors de cette promenade champêtre, le Lapin et la Tortue ont décidé de partir ensemble du lieu de rendez-vous et, suivant un même chemin, de se retrouver à un endroit convenu riche en laitues et carottes sauvages. Mais dame Tortue avance uniformément à son train de sénateur (50 mètres par heure). Le Lapin trouvant sa compagne trop lente, part devant, en suivant le chemin, puis revient à la Tortue, repart vers le but, recommence son manège... Joueur invétéré, il fait le pari suivant :

« Foi de Lapin ! j'arriverai au but au même instant que dame Tortue mais je ne réaliserai une vitesse moyenne égale à la sienne sur aucun des intervalles de temps d'une heure. »

Le pari du Lapin est-il tenable ?

La monotonie a ses limites (PDF, 108 Ko)

On se propose d'étudier une fonction pour laquelle l'existence de limites est obtenue grâce au théorème sur les fonctions monotones bornées. La fonction étudiée ici associe à tout réel a de [ 1 ; e ] (ou de ] e ; +inf [) l'unique solution de l'équation . Cette fonction est décroissante et minorée et, par suite, admet une limite finie lorsque a tend vers e (ou, suivant le cas, +inf), limite que l'on peut calculer.

Fonctions carrément associées (PDF, 318 Ko)

Soit f est une fonction définie et continue sur R et C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct.

Soit M un point de C, H le projeté orthogonal de M sur l'axe Ox, H' et M' les points tels que MHH'M' soit un carré de sens direct.

Lorsque M décrit C, M' décrit une courbe C'. On va tenter de répondre aux questions suivantes :

— Est-ce que C' est la courbe représentative d'une fonction g ?

— Si oui, est-ce que g est définie pour tout réel ?

Tout le chapitre (PDF, 876 Ko ; 27 pages)

Une illustration graphique du nombre dérivé (PDF, 523 Ko)

Il s'agit de donner un sens mathématique et d'illustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment proches de x0, une courbe C est aussi proche qu'on le souhaite de sa tangente Δ en M0 d'abscisse x0 »..

Meilleure approximation affine (PDF, 94 Ko)

Il s'agit de déterminer la meilleure approximation affine d'une fonction au voisinage d'un point.

Les tangentes d'abord (PDF, 69 Ko)

En pliant d'une certaine façon une feuille de papier on obtient les tangentes à une courbe qu'il s'agit de déterminer.

Deux points, une seule tangente (PDF, 67 Ko)

Étant donné la courbe représentative d'une fonction dans le plan rapporté à un certain repère, existe-t-il deux points distincts de cette courbe tels que les tangentes à la courbe en ces points soient confondues ?

Deux courbes, une seule tangente (PDF, 103 Ko)

À quelles conditions deux courbes possède-t-elles une tangente commune ?

Une tangente chez Torricelli (PDF, 78 Ko)

Dans cette séquence, on analyse une méthode de construction des tangentes à une courbe utilisée par Torricelli

Une tangente par la cinématique chez Torricelli (PDF, 88 Ko)

On analyse ici, dans le langage de la cinématique, une méthode de construction des tangentes à une courbe utilisée par Torricelli.

Dérivons en vitesse (PDF, 140 Ko)

Lorsque h est assez petit, les nombres (f(t₀ + h) - f(t₀))/h et (f(t₀ + h) - f(t₀ - h))/(2h) sont des valeurs approchées du nombre dérivé de la fonction f en t₀. Le deuxième, qui semble donner une meilleure approximation que le premier, est utilisé par les calculatrices. On se propose de comparer ces nombres et d'étudier la légitimité de ces approximations.

Tout le chapitre (PDF, 286 Ko ; 17 pages)

Problème analytico-électrique (PDF, 42 Ko)

On monte en série un générateur de tension, de force électromotrice E donnée, avec un conducteur ohmique de résistance R. On note r la résistance du montage autre que R (résistance interne du générateur, augmentée de celle des fils de branchement, etc.).
Soit Q la chaleur fournie par effet Joule par ce conducteur pendant le temps t et P la puissance dégagée. On a Q = P t.
Quelle doit être la valeur de la résistance R pour que la puissance (et donc la chaleur) dégagée soit maximale ?

Zéros de la dérivée (PDF, 121 Ko)

À quelles conditions une fonction f, dérivable sur un intervalle I, est-elle strictement monotone sur cet intervalle ?

Étude de monotonie (PDF, 50 Ko)

Quel est la méthode la plus appropriée pour étudier le sens de variation d'une fonction ?

La réfraction fait réfléchir Leibniz (PDF, 101 Ko)

Il s'agit de résoudre le problème de la réfraction traité par Leibniz par une méthode tout à fait semblable à celle qu'il employa, mais en utilisant la dérivée plutôt que les différentielles.

Dérivée positive et décroissante (PDF, 68 Ko)

Cet exercice s'intéresse à une fonction définie, dérivable, de dérivée positive et décroissante, sur R+*. Ces hypothèses permettent d'obtenir différents résultats sur la courbe représentative de la fonction, pour des abscisses tendant vers l'infini.

Monotone à en prendre la tangente (PDF, 58 Ko)

L'objet de cette activité est de mettre en évidence la relation entre la monotonie de la dérivée d'une fonction et la position de sa courbe représentative par rapport aux tangentes.

Tout le chapitre (PDF, 359 Ko ; 24 pages)

Variation : de la suite à la fonction (PDF, 48 Ko)

On a déjà justifié les trois théorèmes suivants :
Soit f une fonction définie sur R+.
(1) : si f est constante sur R+ alors la suite u, définie sur N par u_n = f(n), est constante.

(2) : si f est croissante sur R+ alors la suite u, définie sur N par u_n = f(n), est croissante ;

(3) : si f est décroissante sur R+ alors la suite u, définie sur N par u_n = f(n), est décroissante ;

L'objectif de cette activité est de réfléchir sur la véracité des réciproques de ces théorèmes.

Variation : de la fonction à la suite (PDF, 56 Ko)

f étant une fonction monotone sur un intervalle I, quel est le sens de variation de la suite u définie par son premier terme et la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n) ?

La parabole carrée (PDF, 92 Ko)

On s'intéresse ici à un théorème fameux d'Archimède : la quadrature de la parabole. Les résultats énoncés par Archimède peuvent être en effet démontrés de façon rapide et intéressante en utilisant nos concepts actuels de suite géométrique et de limite.

Évolution de la notion de limite d'une suite (PDF, 96 Ko)

Depuis l'Antiquité, la notion de limite joue un rôle majeur en mathématiques. Mais ce n'est que récemment, au XIXe siècle, que les mathématiciens parvinrent à en donner une définition précise et rigoureuse. De Zénon d'Élée à Karl Weierstrass, cette séquence retrace succinctement le cheminement de la notion.

Au coeur de la toile (PDF, 104 Ko)

Deux problèmes tout à fait comparables de convergence de suites de nombres rationnels où il s'agit de formaliser le problème, d'étudier la suite et de reconstituer les étapes de la démarche.

Equation f(x) = x (PDF, 62 Ko)

On se propose de prouver l'existence de solutions de l'équation f(x)= x pour certains types de fonctions f, puis, pour une fonction vérifiant certaines hypothèses, d'approcher l'unique solution de cette équation à l'aide d'une suite du type u_n+1 = f(u_n).

L'économie du scoubidou (PDF,78 Ko)

Loi de l'offre et de la demande. Les suites à la recherche du point d'équilibre.

C'est au début que tout se joue (PDF, 71 Ko)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = ( 1 - x )² , et u une suite définie par son premier terme u₀ et la relation de récurrence « pour tout entier naturel n, u_n+1 = f(u_n) ».

On se propose d'étudier le comportement de la suite suivant la valeur de son premier terme.

Tout le chapitre (PDF, 292 Ko ; 16 pages))

Exposition en série (PDF,46 Ko)

Obtenir e^a comme limite d'une suite.

Suites intégralement diaboliques (PDF, 68 Ko)

Ce problème a pour propos l'étude des suites u et v définies sur N* par :

u_p est le quotient du produit des p premiers naturels impairs par le produit des p premiers naturels pairs non nuls.

v_p est le quotient du produit des p premiers naturels pairs non nuls par le produit des (p + l) naturels impairs.

Quand S devient Sigma (PDF, 86 Ko)

On se propose d'exprimer l'aire d'une surface illimitée comme une limite de suite puis de trouver une valeur approchée de cette aire.

Le paradoxe de la moyenne (PDF, 67 Ko)

On se propose de calculer la « moyenne des ordonnées des points situés sur un quart de cercle ».

Un calcul d'intégrale chez Pascal (PDF, 154 Ko)

Il s'agit d'étudier un texte de Pascal, de traduire certaines expressions en langage moderne et de comprendre la démarche.

Tout le chapitre (PDF, 396 Ko ; 23 pages)

L'image du produit (PDF, 50 Ko)
Caractériser les fonctions vérifiant la relation f(xy) = f(x) + f(y)

Moi, mon double et son image (PDF, 62 Ko)
Recherche des fonctions vérifiant f(2x) = f(x) et de celles vérifiant f(2x) =2 f(x).

Carré de l'image égale à l'image du carré (PDF, 58 Ko)

Trouver les fonctions définies continues sur R+, dérivables sur R+*, de dérivée continue en 1 et telles que l'image du carré de chaque réel positif soit égale au carré de l'image de ce réel.

Méthodes pour les équations fonctionnelles (1) (PDF, 126 Ko)
Q uelques exemples d'exercices sur les équations fonctionnelles

Méthodes pour les équations fonctionnelles (2) (PDF, 106 Ko)
Q uelques exemples d'exercices sur les équations fonctionnelles

Queue de Poisson au péage (PDF, 78 Ko)
Des véhicules se présentent à un poste de péage de façon aléatoire. Déterminer la loi de probabilité qui donne le nombre de véhicules se présentant au péage pendant un laps de temps donné.

Moyenne arithmético-géométrique (PDF, 60 Ko)
Étude d'une fonction définie à partir d'une limite de suite et caractérisée par des équations fonctionnelles.

fof=exp (PDF, 131 Ko)
Dans cette séquence on soulève le problème de l'existence de fonctions f continues sur R et vérifiant la relation : f o f = exp et on s'intéresse aux propriétés de telles fonctions.

Tout le chapitre (PDF, 547 Ko ; 34 pages)

Du fini à l'infini (PDF, 94 Ko)

De l'infini au fini (PDF, 60 Ko)

Autant, moins ou plus ? (PDF, 184 Ko)

Les mathématiciens introduisent généralement le concept de « nombre d'éléments » d'un ensemble de la façon suivante : deux ensembles E et F ont le même nombre d'éléments s'il existe une bijection de E sur F.
En mettant en œuvre cette définition sur des exemples, divers mathématiciens furent fort surpris du fait que des ensembles très dissemblables puissent être mis en bijection l'un avec l'autre, et donc avoir le même « nombre d'éléments ».
On se propose d'étudier certains de ces exemples

Dénombrable ou continu (PDF, 117 Ko)

Le propos de cette séquence est d'examiner, pour divers ensembles, s'ils sont dénombrables ou s'ils ont la puissance du continu. Les résultats sont parfois surprenants.

Aspect historique de quelques notions d'Analyse (PDF, 284 Ko)

Petite bibliographie sur l'histoire de l'Analyse (PDF, 61 Ko)